交叉通道先验是Heide13年论文中提出的一种RGB彩色图像统计先验，常被用于图像复原的优化目标函数中。

交叉通道先验的物理意义

我们提出在反卷积过程中共享不同通道的信息，从而一个通道保留的频率信息可以帮助其他通道重建。交叉通道先验基于这样的假设：图象所有通道在相同位置的边缘和色调变化是稀疏的。[1]这个假设可以导出两个通道$l,k$之间的先验
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \nabla i_k ./ i_k \approx \nabla i_l ./ i_l \\
\Leftrightarrow & \nabla i_k \cdot i_l \approx \nabla i_l \cdot i_k
\end{aligned}
\end{equation}
其中乘法$\cdot$除法$./$都是元素操作。注意使用时我们用$\mathcal{l}_1$范数的形式。

最小化问题

通过交叉通道先验，全通道反卷积可以形式化为一个优化问题
\begin{equation}
(i_{1,2,3})_{opt} = \text{argmin}_{i_{1,2,3}} \sum_{c=1}^3 (
\Vert B_c ic - j_c \Vert_2^2 + \lambda_c \sum\{a=1}^5 \Vert H_a i_c \Vert_1 \\

• \sum_{l \neq c} \beta_{cl} \sum_{a=1}^2 \Vert H_a i_c \cdot i_l - H_a i_l \cdot i_c \Vert_1
  )
  \tag{1}
  \end{equation}
  其中卷积矩阵$H_{1,2}$实现一阶导数，$H_{3,4,5}$实现二阶导数。式(1)中第一项是数据保真项，第二项确保梯度和边缘服从重尾分布（heavey-tailed distribution），最后一项表示交叉通道先验。
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