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在参数估计和统计中，Cramer-Rao界限（Cramer-Rao bound, CRB）或者Cramer-Rao下界（CRLB），表示一个确定性参数的估计的方差下界。命名是为了纪念Harald Cramer和Calyampudi Radhakrishna Rao。这个界限也称为Cramer-Rao不等式或者信息不等式。

它的最简单形式是：任何无偏估计的方差至少大于Fisher信息的倒数。一个达到了下界的无偏估计被称为完全高效的（fully efficient）。这样的估计达到了所有无偏估计中的最小均方误差（MSE，mean square error），因此是最小方差无偏（MVU，minimum variance unbiased）估计。

给定偏倚，Cramer-Rao界限还可以用于确定有偏估计的界限。在一些情况下，有偏估计方法的结果可能方差和均方差都小于无偏估计的Cramer-Rao下界。

标量情形

标量的无偏情形

假设\theta是一个位置确定性参数。我们需要从观察变量x估计它。而它们满足一个概率密度函数f(x;\theta)。任何\theta的无偏估计\hat{\theta}的方差的下界为Fisher信息I(\theta)的倒数：

\mathrm{Var}{\hat{\theta}} \ge \frac{1}{I(\theta)} \tag{1}

其中Fisher信息定义为

I(\theta) = \mathrm{E}[(\frac{\partial \ln f(x;\theta)}{\partial \theta})^2] =-\mathrm{E}[\frac{\partial^2 \ln f(x;\theta)}{\partial \theta^2}]  \tag{2}

其中\mathrm{E}表示求期望。

无偏估计\hat{\theta}的效率描述估计的方差有多接近下限，定义为

e(\theta) = \frac{I(\theta)^{-1}}{\mathrm{Var} (\hat \sigma)} \tag{3}

显然有

0 \le e(\hat{\sigma}) \le 1 \tag{4}

标量的一般情形

更一般的情况是考虑参数$\theta$的无偏估计$T(X)$。这里的无偏性理解为\mathrm{E} [ T(X)] = \phi (\theta)。这种情况下，方差的下界为

\mathrm{Var}(T) \ge \frac{[\phi'(\theta)]^2}{I(\theta)} \tag{5}

其中\phi'(\theta)表示\phi(\theta)关于\theta的导数，I(\theta)仍然是Fisher信息。

有偏估计的界限

考虑估计\hat\theta，设其偏倚b(\theta) = \mathrm{E}[\hat\theta] - \theta，令\phi(\theta) = b(\theta) + \theta。利用上式，任何期望为\phi(\theta)的无偏估计的方差都大于等于(\phi'(\theta)^2) / I(\theta))。于是

\mathrm{Var} (\hat\theta) \ge \frac{[1 + b'(\theta)]^2}{I(\theta)} \tag{6}

当b(\theta) = 0，上式退化为无偏估计得方差界限。当估计\hat\theta退化为常数（概率密度函数为脉冲函数），则方差退化为0。

从上式，利用标准分解可以推出有偏估计的均方误差下界为

\mathrm{E}[(\hat\theta - \theta)^2] \ge \frac{[1 + b'(\theta)]^2}{I(\theta)} + b(\theta)^2
\tag{7}

注意，如果1+b'(\theta) < 1，那么上式右端的下界可能小于Cramer-Rao下界。例如，当1+b'(\theta) = \frac{n}{n+2} < 1。

多元变量的情形

定义向量\theta =[\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_d]^T \in R^d，它的概率密度函数为f(x; \theta)满足后面的两个正则化条件。Fisher信息矩阵是一个d \times d的矩阵，元素I_{m,k}定义为

I_{m, k} = \mathrm{E}[\frac{\partial}{\partial \theta_m} \ln f(x;\theta) \frac{\partial}{\partial \theta_k} \ln f(x;\theta) ] = -\mathrm{E}[  \frac{\partial^2}{\partial \theta_m \partial \theta_k} \ln f(x;\theta)  ]
\tag{8}

令T(X)为一个向量函数的估计，T(X) = (T_1(X), T_2(X), \cdots, T_d(X))^T，记它的期望向量\mathrm{E}[T(X)]为\phi(\theta)。Cramer-Rao下界认为T(X)的协方差矩阵满足

\mathrm{Cov}_\theta (T(X)) \ge \frac{\partial \phi(\theta)}{\partial \theta} [I(\theta)]^{-1} ( \frac{\partial \phi(\theta)}{\partial \theta})^T
\tag{9}

其中

矩阵大于等于符号A \ge B表示A - B是一个半正定矩阵；
\partial \phi(\theta) / \partial \theta是雅克比矩阵，它的第ij个元素为\partial \phi_i(\theta) / \partial \theta_j。

当T(X)为\theta的无偏估计（例如T(\theta) = \theta），则Cramer-Rao法则退化为

\mathrm{Cov_\theta}(T(X)) \ge I(\theta)^{-1} \tag{10}

两个正则化条件

边界依赖两个关于f(x;\theta)和T(X)的弱正则化条件：

Fisher信息矩阵总是存在。等价地说，对于所有x，如果f(x;\theta) > 0，则\partial \ln f(x; \theta) / \partial \theta存在并且有限。
对x的积分和对\theta的微分可以交换顺序。也就是说，在下式右侧有限时，有

\frac{\partial}{\partial \theta} [\int T(x) f(x;\theta) dx] = \int T(x) [\frac{\partial}{\partial \theta} f(x; \theta)] dx \tag{11}

上述条件通常可以通过以下任意一个条件来确认：

函数f(x; \theta)在x中有边界支持，并且边界不依赖于\theta。
函数f(x; \theta)有有限的支持，连续可微，并且对于所有\theta积分收敛。

标量情形的证明

假设T = t(X)是一个$\phi(\theta)$的无偏估计，且E(T) = \phi(\theta)。目标是证明，对于所有\theta，

Var(t(X)) \ge \frac{[\phi' (\theta)]^2}{I(\theta)} \tag{12}

令X为随机变量，且概率密度函数为f(x;\theta). T = t(X)为统计量，且作为\phi (\theta)的估计。定义V为概率密度函数关于\theta的偏导数

V = \frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(X; \theta) = \frac{1}{f(X; \theta)}  \frac{\partial}{\partial \theta} f(X; \theta) \tag{13}

可以发现，$V$的概率密度函数也是f(X;\theta)。利用第二个正则化条件，可以得到V的期望为0。即

\mathrm{E}(V) = \int f(x;\theta)[ \frac{1}{f(x; \theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} f(x; \theta)]dx= \frac{\partial}{\partial \theta} [\int  f(x;\theta) dx]  = 0
\tag{14}

因为\mathrm{E}(V)=0，由协方差定义式可以推出\mathrm{Cov}(V, T) = \mathrm{E}(VT)。展开可以得到

\begin{aligned}
\mathrm{Cov}(V, T) =& \mathrm{E}(T \cdot [ \frac{1}{f(X; \theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} f(X; \theta) ]) \\
=& \int t(x)[\frac{1}{f(x; \theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} f(x; \theta)] f(x; \theta) dx \\
=& \frac{\partial}{\partial \theta} [\int t(x) f(x;\theta) dx] \\
= & \phi'(\theta)
\end{aligned} \tag{15}

由柯西-施瓦茨不等式可得

\sqrt{\mathrm{Var}(T)\mathrm{Var}(V) } \ge  \vert \mathrm{Cov}(V, T)   \vert = \vert \phi'(\theta) \vert \tag{16}

因此

\mathrm{Var}(T) \ge \frac{[\phi'(\theta)]^2}{\mathrm{Var}(V)} = \frac{[\phi'(\theta)]^2}{I(\theta)} \tag{17}

参考文献

https://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%E2%80%93Rao_bound#Regularity_conditions

TomHeaven的博客

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Cramer-Rao下界