浅谈图象的全变分和去噪

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全变分（Total variation），也称为全变差，是图象复原中常用的一个名词。本文简要介绍全变分的概念以及在图象去噪中的应用。

一维信号的全变分和去噪

一维连续函数的全变分

一维连续实函数f(x)在区间[a, b] \subset R上的全变分定义为参数曲线x \rightarrow f(x), x \in [a,b]的弧长。其表达式为

V_a^b(f) = \int_a^b |f'(x)|dx

说白了，所谓的“变分”就是|f(x+\Delta x) - f(x)|，对于连续函数\Delta x \rightarrow 0。而全变分是对函数定义的区间而言的，就是将“变分”在区间上累加起来。

一维离散信号的全变分

从上面连续实函数的全变分，我们可以很容易想到它的离散形式。给出信号序列\{y_i\},i=1,..,n，它的全变分定义为

V(y) = \sum_{i=1}^{n} |y_{i+1} - y_i |

用一句话来概括，全变分是前后项之差的绝对值之和。

一维信号去噪

当我们得到观察信号x_i，希望x_i变得平滑，也就是对x_i去噪。一种很直观的想法就是让信号的全变分变小。全变分对应的物理意义就是输入信号的平滑度。设得到的恢复信号为y_i，它应该满足两个条件：

  • y_i与观察信号x_i的差距不大。这个差距的常用数学表达式就是
E(x,y) = \frac{1}{2} \sum_i (x_i - y_i)^2
  • y_i的全变分不大。

将物理约束转化为数学模型，求解y等价于求解下面这个优化问题：

\min_{y} E(x,y) + \lambda V(y)

其中参数\lambda是正常数，用于调节两个约束的作用大小。注意到E(x,y)和V(y)都是凸函数，这是一个无约束凸优化问题，有很多经典方法可以求解。

二维离散信号（图象）的全变分和去噪

图象是典型的二维离散信号，Rudin在1992年将其全变分定义为

V(y) = \sum_{i,j} \sqrt{ |y_{i+1,j}-y_{i,j} |^2 + |y_{i,j+1} - y_{i,j}|^2  }

这个函数是各项同性的，但是不可微，也并不是凸函数。非凸函数的优化求解难度、速度和稳定性都无法与凸函数相比。因此二维全变分有另一种常用定义

\begin{aligned}
V(y)& = \sum_{i,j} \sqrt{ |y_{i+1,j} - y_{i,j}|^2} + \sqrt{ |y_{i,j+1} - y_{i,j}  |^2}  \\\\
       &= \sum_{i,j} |y_{i+1,j} - y_{i,j}| + |y_{i,j+1} - y_{i,j}  |
\end{aligned}

这个函数是凸函数了。

仿照一维信号的去噪，基于全变分的图象去噪可以看成求解优化问题

\min_y E(x,y) + \lambda V(y)

其中E(x,y)作为数据误差项定义为

E(x,y) = \frac{1}{2}\sum_{i,j} (x_{i,j} - y_{i,j})^2

当V有凸函数形式时，问题变为无约束凸优化问题，从而容易求解。